三维向量垂直定理证明
假设向量a//向量ba=(x1,y1),b=(x2,y2)则有a=λb(x1,y1)=(λx2,λy2)即x1/x2=y1/y2=λ变形得x1y2-x2y1=0下面证明垂直,垂直很简单,用数量积假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)∴向量a·向量b=0∴x1x2+y1y2=0
空间向量基本定理怎么证明
空间向量基本定理是指任意三个非共线的向量可以构成一组基。证明方法可以通过假设三个向量为a、b、c，然后证明它们线性无关，即不存在非零实数k1、k2、k3使得k1a+k2b+k3c=0。
通过假设k1a+k2b+k3c=0，推导出k1=k2=k3=0，即证明了线性无关性。由于三个向量线性无关，所以它们可以构成一组基，即空间向量基本定理成立。
用法向量证明空间两向量垂直的公式
1、向量垂直公式
向量a=（a1,a2），向量b=（b1,b2）
a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb（λ是一个常数）
a垂直b：a1b1+a2b2=0
2、向量平行公式
向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)
x1y2-x2y1=0
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0
几何表示
向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。
x1*x2+y1*y2=0和｜A|*|B|*cos（A与B的夹角）＝0。
一、
①几何角度关系：向量A=（x1，y1）与向量B=（x2,y2）垂直则有x1*x2+y1*y2=0
②坐标角度关系：A与B的内积
＝｜A|*|B|*cos（A与B的夹角）＝0
二、
证明：
①几何角度：
向量A (x1,y1),长度L1 =√（x1²+y1²)
向量B (x2,y2),长度L2 =√（x2²+y2²)
（x1,y1）到（x2,y2)的距离：D=√［（x1 - x2)² + (y1 - y2)²]
两个向量垂直，根据勾股定理
：L1² + L2² = D²
∴（x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
∴x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²
∴0 = -2x1x2 - 2y1y2
∴x1x2 + y1y2 = 0
②扩展到三维角度：x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,那么向量（x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直
综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件
是：L1×L2=0成立。
几何向量的概念
在线性代数
中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间
的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的＂向量＂是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系
，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数
和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
2个空间向量垂直有什么公式
向量垂直的公式是：a，b是两个向量。a=（a1,a2），b=（b1,b2）。a//b：a1/b1=a2/b2或者是a1b1=a2b2或者是a=λb，而λ是一个常数。a⊥b：a1b1+a2b2=0
在二维空间中，一个向量可以表示为a=（x，y）(从(0,0)点指向（x,y）点)。
假设向量A=（x1，y1）与向量B=（x2,y2）垂直则有x1*x2+y1*y2=0.假设不需要坐标，A与B的内积=|A|*|B|*cos（A与B的夹角）=0
有关向量垂直证线面垂直：
设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α。
证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l，以下为详解：
a与b相交，即a，b不共线，由平面向量基本定理就可以清楚的知道，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式，l⊥a，l⊥b，l·a=0，l·b=0，l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0，l⊥c，设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c，按照c的任意性，l与α内任一直线都垂直。
两个向量垂直（如向量A和向量B）可得：两个向量相乘得到0（即：A*B=0）
设向量A=（x1，y1）和向量B=(x2，y2)用坐标表示为：A*B=x1*x2+y1*y2=0 两个向量平行（如向量A和向量B）
设向量A=（x1，y1）和向量B=(x2，y2)可得到：x1y2-x2y1=0
向量垂直坐标公式：a1b1+a2b2=0。垂直，是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
如下
设有两个空间向量（a1，b1，c1）和空间向量（a2，b2，c2），那么这两个空间向量互相垂直的充要条件是a1a2+b1b2+c1c2=0。这与平面向量垂直的充要条件类似。
两个向量叉乘垂直怎么证明
一、两个向量垂直，有垂直定理： 若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。 二、向量其他定理 1、向量共线定理 若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，，使，若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有 ，与平行概念相同。平行于任何向量。
2、分解定理 平面向量分解定理： 如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行向量、叫做这一平面内所有向量的基底。
3、三点共线定理 已知O是AB所在直线外一点，若,且则A、B、C三点共线。